一、Boussinesq方程组的精确解（论文文献综述）
李伟,李丽[1]（2021）在《直接拟解法求Boussinesq方程组的精确解》文中认为微分方程包含常微分方程和偏微分方程。由于非线性偏微分方程是偏微分方程的重要内容,求微分方程的解是微分方程研究的重要内容,从而求非线性偏微分方程的解是微分方程研究内容中的重中之重。很多重大的物理科学问题和信息技术问题都与非线性偏微分方程的研究紧密相关。一般来说,求非线性偏微分方程的解是不容易的。经过科研工作者不断努力已经找到了大量的求解方法。该文借助于行波变换法,直接拟解法和齐次法解得了Boussinesq的新解。这种方法也具有一定的普遍性,可以求一些非线性偏微分方程的解。
李美玉[2]（2021）在《几类非线性发展方程的孤子解和周期波解的研究》文中研究表明非线性可积系统在物理和数学领域非常重要,受到越来越多的关注,专家和学者对非线性偏微分方程解的研究越来越感兴趣,并利用不同的有效方法得到了非线性偏微分方程的精确解.精确解在许多方面广泛地扩展了非偏微分方程的研究领域.诸多方法中Hirota双线性方法和广义双线性方法在呈现孤子解中起着重要作用.本文基于双线性方法,研究高维非线性发展方程（NLEEs）的几类精确解,即通过求解NLEEs所对应的双线性方程,构造方程的周期波解、交叉纽结波解、亮暗孤子解、有理解和lump解及其相互作用解,并通过图形分析了其几何形态、物理意义和动力学特性.具体内容如下:第一章,着重介绍了本文所用到的Hirota双线性方法和广义双线性方法,并且阐述了周期波解、交叉纽结波解、亮暗孤子解、有理解和lump解及其相互作用解的研究和发展.第二章,基于广义双线性方法,给出了（3+1）维 Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq-like方程的广义双线性形式,并利用符号计算软件Maple获得了该方程的相互作用解、纽结波解和亮暗孤子解,并通过图形分析了其几何形态.第三章,基于广义双线性方法,利用符号计算软件Maple获得了（3+1）维Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq-like方程的的新三波解和新周期波解,同时获得了广义（3+1）维浅水波方程的周期波解.并通过图形分析了新三波解和周期波解的运动轨迹及趋势.第四章,基于广义双线性方法,给出了新（3+1）维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的广义双线性形式,并利用符号计算软件Maple获得了该方程的高阶lump-type解.同时计算了新（3+1）维偏微分方程的高阶lump-type解及其相互作用解,并通过图形分析了高阶lump-type解和相互作用解的物理意义和的动力学形态.第五章,对本论文所研究的内容进行了总结,也对以后进一步需要研究的工作进行了一些展望.
刘建国[3]（2021）在《非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究》文中提出非线性偏微分方程可以被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题,是现代数学的一个重要分支。本文主要利用Hirota双线性方法、（G’/G）-展开法、变系数齐次平衡法、三波法和符号计算方法研究非线性偏微分方程的精确解以及动力学性质,包括lump解、怪波解和周期解等。本文的主要内容和安排如下:第一章主要介绍了非线性偏微分精确解的一些重要分类,包括了孤立波、怪波、lump波以及呼吸子。介绍了本文需要使用的一些基本的方法,包括了 Hirota双线性方法、Bell多项式和Backlund变换。第二章首先介绍了 lump解的求解方法和步骤。随后利用这个方法获得了（3+1）维孤子方程的lump解,分别讨论了 lump解和孤子之间的交互作用以及lump解和周期解之间的交互作用。获得了（2+1）维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程的lump解,讨论了 lump解与孤子解之间的交互作用。随后对lump解的求解方法进行了修正,使之适合求解变系数非线性偏微分方程,这个工作尚未在其他文献中讨论。利用修正后的求解方法获得了（3+1）维广义变系数Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程的lump解并对其动力学性质进行了分析。列出了（2+1）维变系数KP方程的lump解,并讨论了 lump解与单孤子、双孤子之间的交互作用。第三章研究了一个（2+1）维破裂孤子方程,该方程描述了沿y轴传播的Riemann波与长波的（2+1）维相互作用。利用一个特殊的ansatz函数和Hirota双线性形式,获得了（2+1）维破裂孤子方程的一些全新的双周期孤子解,并通过大量的三维图形展示了解的动力学性质。第四章研究 了一个（3+1）维 Boiti-Leon-Manna-Pempinelli 方程,该方程在流体和等离子体动力学有重要的应用。沿x轴传播的长波可以被视为不可压缩流体的模型。基于（G’/G）-展开法和符号计算,得到了（3+1）维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程丰富的双曲函数和三角函数形式的精确解。通过一些图形显示了特定的局部激发和两个孤立波之间的相互作用。第五章研究了一个（3+1）维广义浅水波方程,该方程在天气模拟、潮汐波、河流和灌溉水流、海啸预报等方面有着广泛的应用。基于扩展的变系数齐次平衡法和两个新的ansatz函数,构造了（3+1）维广义浅水波方程的自Backlund变换、非行波孤子型解和多周期孤子解,包括了周期交叉扭结波,周期双孤波和两个孤立波的呼吸类型解。此外还有交叉扭结三孤子和交叉扭结四孤子解并讨论了所得解的传播特性和相互作用。第六章通过三波法研究了新的（3+1）维广义KP方程、（2+1）维Ito方程以及新的（2+1）维Korteweg-de Vries方程的精确解。并在三波法的基础上进行了推广使之能够应用到变系数非线性偏微分方程。以（3+1）维广义变系数浅水波方程为例,获得大量新的精确解。第七章提出了一种改进的符号计算方法。通过使用改进的符号计算方法,获得了广义（2+1）维Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解。这些获得的多怪波解的动力学特征以三维图形和等高线图进行了展示。与原始符号计算方法相比,我们的方法不需要找到非线性系统的Hirota双线性形式。第八章对本文的主要内容和创新工作进行了总结,展望了未来的研究方向。
石瑶[4]（2020）在《几类分数阶偏微分方程的守恒数值方法》文中认为分数阶偏微分方程是整数阶偏微分方程的一种推广和延伸,能够有效描述具有遗传特性或记忆现象的独特性质,在过去二十年里被广泛应用于反常扩散、黏弹性力学、量子力学、等离子体以及系统识别等领域。通常,分数阶偏微分方程的精确解很难求出,或者即使能够求出也往往含有一些复杂且难以计算的特殊函数（如Mittag-Leffler函数、Wright函数以及超几何函数等）,给实际应用带来了很大的困难。因此,构造求解分数阶偏微分方程的高效数值方法具有重要的理论和实际应用价值。本文主要研究物理学中的几类分数阶偏微分方程的初边值问题,给出新的数值方法并分析数值解的相关性质。值得一提的是,这些物理学中的经典问题往往具有守恒量,在构造数值方法的过程中保持这些守恒特性将极大地提高数值方法的准确性和有效性。以此为出发点,本文的主要工作如下:第一章简单地介绍分数阶微积分发展的历程和课题研究的意义,描述本文考虑的几类方程的物理背景和研究现状,并概括论文的主要研究内容。第二章给出空间分数阶Klein-Gordon-Schr¨odinger方程在Dirichlet边界条件下的高阶守恒差分格式。首先证明所给格式满足电荷量和能量守恒律。然后通过离散能量方法分析数值格式的先验界和最大模收敛性。最后用数值算例验证所构造格式的守恒性和收敛性。第三章针对一类带双分数阶的非线性Zakharov方程,导出它的两个守恒量,提出一个自封闭的三层线性差分格式,并且讨论格式的守恒能力和精度。通过数值算例验证方法的有效性,并分析两个分数阶阶数对某些孤波解行为的影响。第四章研究一类耦合分数阶Schr¨odinger-Boussinesq方程的初边值问题。首先,引入新变量得到低阶方程组,然后利用紧技巧对方程组中的空间导数进行离散,构建分数阶Schr¨odinger-Boussinesq方程的三点紧差分格式。接着基于离散守恒律得到数值解的先验估计,并通过离散能量方法证明数值解的存在性和收敛性。最后利用数值实验证明格式的有效性,并验证差分格式的理论分析精度。第五章主要研究周期边界条件下带阻尼项的空间分数阶Schr¨odinger方程的Fourier谱方法。首先,通过变量替换得到等价方程,并给出等价方程所遵循的质量和能量守恒律。然后,利用Fourier谱方法对空间变量进行离散,建立空间半离散Fourier谱格式,进而分析它的守恒性和收敛性。接下来,在时间方向上采用Crank-Nicolson差分公式进行离散,建立全离散Fourier谱格式,证明全离散格式也具有守恒性质。对数值解进行误差分析,证明此格式在时间方向具有二阶精度,在空间方向具有谱精度。最后,利用一些数值算例验证理论结果的正确性,并通过直观图像观察分数阶阶数和阻尼系数对某些孤波解行为的影响。
李文赫[5]（2020）在《求解几类非线性发展方程的试探方程法》文中进行了进一步梳理作为连接数学理论与实际应用的桥梁,以物理、力学问题为背景的非线性发展方程的研究不仅是传统应用数学的主要内容,也是现代数学的重要组成部分。与线性方程相比较,非线性在数学研究上带来实质性的困难。因此,研究非线性发展方程是一项具有挑战性的工作,特别是求非线性发展方程的精确解一直是研究的热点。目前虽然已经提出并发展了许多方法来精确求解非线性发展方程,如逆散射方法、Backlund变换方法、李群方法、以及一些直接代数方法（如Hirota双线性法、混合指数法、齐次平衡法、双曲函数展开法、Jacobi椭圆函数展开法）等,但是仍有大量的具有实际背景的非线性发展方程,需要新的方法才能求解出其精确解。本文的主要工作是利用和发展试探方程法,并运用到物理学和力学中的五类常见的非线性发展方程,求得了一系列精确解,并刻画了这些物理问题的丰富的波传播模式。主要包括以下三部分内容:首先,将传统的试探方程法推广为复试探方程法,并以此研究了两类非线性Schr（?）dinger方程,分别是带二次-三次非线性项的Schr（?）dinger方程和带非局部抛物律的Schr（?）dinger方程。对于第一个模型得到了其光孤子解、不连续周期解、奇异有理函数解、指数函数解及Jacobi椭圆函数解等七种形式的精确解,其中包括三个目前用其他方法尚未得到的新解。对于第二个模型构造了其丰富的精确包络行波解,得到了光波在非局部抛物律介质中的传播表现为孤子行为和周期模式,根据不同的参数的选择,确定了相应的光波传播模式。其次,将传统的试探方程法推广为耦合试探方程法,并以此研究了两类浅水波运动方程组,分别是耦合Kaup-Boussinesq方程组和耦合Kaup-Boussinesq II方程组。对于第一个方程组,利用五阶多项式判别系统,得到了其十三组精确的单行波解,对于第二个方程组利用四阶多项式判别系统,得到了其六组精确的单行波解。特别地,当波传播速度为一个特殊的常数时,两类方程组均具有周期解,显示了该系统的周期动力学行为。最后,将传统的试探方程法推广为变系数试探方程法。研究了变系数广义Kd V-m Kd V组合方程,分别考虑了当自由参数取1,-1/2和2时的三种情形,对于自由参数取1的情形,利用四阶多项式完全判别系统对其解进行了分类;对于自由参数取-1/2的情形,原方程可转化为有理形式的因子方程,然后利用四阶多项式完全判别系统对其解进行了分类;对于自由参数取2的情形,其因子方程解的分类可转化为六阶多项式的判别系统,从而求出原方程的精确解。
呼星汝[6]（2020）在《两类非线性演化方程的精确解和守恒律》文中进行了进一步梳理非线性演化方程是一门历史比较久远的学科,在物理学、化学、流体力学、生态学、医学等很多方面都有广泛的应用和影响.数学家们对非线性演化方程的研究主要体现在以下两个方面:一是关于非线性演化方程的求解问题,如有理解、孤立子解等;另一方面则是研究可积系统的几何代数性质,例如Hamiltonian结构、守恒律等.本文主要利用计算机软件Maple为辅助工具,对非线性演化方程的精确解、留数对称和守恒律进行了研究.本文主要内容如下:首先,介绍了非线性演化方程的相互作用解、留数对称和守恒律研究背景和现状,并简单地介绍了文章中用到的方法和一些定义、定理;然后,运用相容Riccati展开法研究了（1+1）维经典Boussinesq-Burgers系统的CRE可解性,并利用此性质给出了（1+1）维CBB系统的单孤子解和相互作用解,即根据Riccati方程的解,再结合Jacobi椭圆函数,求出了（1+1）维CBB系统的三组相互作用解,然后利用Maple画图功能画出了相对应的波形图;最后,先根据截断的Painleve展开法构造出了 Kaup-Boussinesq方程组的留数对称;接着通过CRE方法证明了 KB方程组是具有相容Riccati展开可解性的,利用此性质构造了该方程组的一组相互作用解;并且利用李群分析方法求出了 KB方程组的Lie对称,然后运用伴随方程法构造出了 KB方程组的无穷多守恒律.
郝孟涵[7]（2020）在《几类分数阶非线性偏微分方程解的研究》文中研究表明分数阶非线性偏微分方程目前已经广泛的应用于物理学、化学、工程学等领域之中.寻找分数阶非线性发展方程的解析解或者精确解一直以来都是数学研究者研究的重要课题之一.本文主要是用Kudryashov方法及其衍生方法对几类分数阶非线性偏微分方程（组）精确解进行研究,借助分数阶复变换方法,成功的得到了它们的精确解,从而扩充了相关方程的解系,为该方程的研究提供了新的可能性.本文主要是对Kudryashov方法及其衍生方法等做了详细介绍.其中包括Kudryashov方法、改进的Kudryashov方法、广义的Kudryashov方法以及广义的tanh-coth方法.其次在借助分数阶复变换方法的基础上,分别运用这些方法求解了时间-空间分数阶Whitham-Broer-Kuap方程组、时间-空间分数阶Caudrcy-DoldGibbon-Sawada-Kotcra方程、空间-时间分数阶Equal-Width方程、时间-空间分数阶Benjamin-Bona-Mahony方程、（3+1）维空间-时间分数阶修正的ZakharovKuznestov方程、分数阶耦合Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程等方程（组）的精确解,以此得到了不同形式的新的精确解,在现有的基础上扩大了解系.这对Kudryashov方法及其衍生方法等方法求解分数阶非线性偏微分方程（组）的精确解具有较大的现实意义及较强的研究价值.最后部分以总结和展望为主进行阐述.先概述了目前取得的研究成果,之后总结主要创新之处,最后在展望部分,关于求解分数阶非线性偏微分方程（组）的精确解,给出自己的一些建议.
李伟[8]（2020）在《高维非线性演化方程高阶波解的符号计算研究》文中进行了进一步梳理非线性演化方程是描述非线性现象的一类非常重要的数学模型。非线性演化方程精确解的符号计算研究始终是数学物理领域很重要的研究课题。随着计算机代数的飞速发展,计算机代数系统为人们求解非线性演化方程的精确解提供了强有力的工具和手段。近几年,高维甚至超高维非线性演化方程精确解的符号计算研究逐渐成为微分方程领域的研究热点。本文基于符号计算软件Maple,开展了高维非线性演化方程多种类型波解的符号计算研究,主要包括以下两方面的工作。第一部分主要通过简单Hirota方法和直接代数法构造高维非线性演化方程多种类型的高阶波解。简单Hirota方法是构造非线性演化方程精确解的一种有效方法。但是,该方法推导出的N-孤子解公式对不可积方程往往并不适用,本文通过引入参数约束条件获得高维不可积方程的有效N-孤子解。在此基础上,结合Painlevé截断展开、共轭参数法、长极限法计算了（3+1）维B-type Kadomtsev-Petviashvili（BKP）方程和（3+1）维扩展的Jimbo-Miwa（JM）方程任意高阶的孤子解、呼吸子解和lump解;进而基于直接代数法,并结合继承求解和并行计算技术,分别构造了（3+1）维BKP方程的高阶怪波解、孤子和有理波之间的相互作用解,（3+1）维扩展的JM方程的孤子、有理波和多种周期波之间的多波相互作用解。第二部分基于有效的N-孤子解,本文提出了一种N-孤子分解算法构造高维非线性演化方程的高阶孤子、呼吸子和有理波之间的多波相互作用解。在获得有效的高阶孤子解之后,可基于高阶孤子解进一步由Satsuma等人提出的共轭参数法和长极限法分别计算高维非线性演化方程的高阶呼吸子解和有理波解。受该构造过程的启发,本文提出了构造高维非线性演化方程lump波、呼吸子和孤子之间的高阶相互作用解的新的分解算法。其主要思路是将自然数N分解为:N=2M+2K+S,其中M,K和S均为自然数。然后利用长极限法和共轭参数法将N-孤子公式中的前2M个孤子转换为M个lump波,利用共轭参数法将N-孤子公式中的中间2K个孤子转换为K个呼吸子,最后的S个孤子仍然保持为孤子,即可获得高维非线性演化方程的M-lump、K-呼吸子和S-孤子之间的相互作用解。基于该分解思路,我们分别构造了（4+1）维Fokas方程和（3+1）维广义的KP方程的lump波、呼吸子和孤子之间的高阶相互作用解。
郑真真[9]（2020）在《一族新的微分方程的可积性和精确解研究》文中指出可积系统是非线性科学研究中的一个重要方向,如何寻找新的可积系统并运用多种方法求解进而发现其潜在的理论及应用意义也是其中一个重要的分支,本文主要研究一族新的非线性演化方程的可积性和精确解。首先,我们构造了一个33?的矩阵谱问题,借助于零曲率方程,给出了与该33?矩阵谱问题相关的新的Boussinesq型非线性演化方程族,进而说明其在具有Lax对意义下可积。基于谱问题及其辅谱问题,通过引入相应的Riccati型方程,得到了该族方程中前两个非线性演化方程的无穷多守恒律,进一步说明在其具有无穷多守恒律意义下也是可积的。其次,利用谱问题之间的规范变换,构造了微分方程族中第一个非平凡的演化方程的Darboux变换,并选取合适的种子解,求出了该方程的两组显式精确解。接着利用扩展的同宿呼吸检验法求出该方程的同宿呼吸子孤波解,并通过同宿呼吸子极限法给出同宿波的有理解,并发现此有理解恰是该方程的怪波解,通过Maple软件给出了同宿呼吸子孤波解和怪波解的图像。最后,利用双线性方法求出了该方程的孤子解,并通过Maple软件画出了单孤子解和双孤子解的图像。这些显示解均经过Maple程序代入原方程进行了验证。
徐传海[10]（2020）在《典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究》文中研究表明非线性现象是普遍存在于自然界中,而研究非线性现象的非线性科学更是与各种学科都有着紧密联系,很多的复杂问题都可以用非线性系统建立模型,从而对非线性系统的研究就显得格外重要。孤立子理论是非线性研究中的重要的一支,是当今非线性学科的热门内容和课题。对非线性系统孤立波解的研究有助于人们理解系统里的运动变化,从而揭示现象背后的本质规律,在物理学和工程技术领域体现了极大的应用价值。在过去的几十年里,随着计算机硬件和软件技术的发展,在应用数学和工程领域的研究方法得到了创新,我们的计算能力得到了很大的提升,绘图能力也得到了加强,可以全方位、多角度的去观察,也可以深入图像的局部进入微观领域中。这也很大程度地提高了关于非线性演化方程的求解和绘图能力,使我们在对孤立子的研究上走的更深更远。本文研究了非线性色散波方程的精确行波解,运用动力系统理论分叉方法和几何奇异摄动理论,对含有奇异线的非线性演化方程进行了讨论研究,展示了其内部随参数变化的丰富的孤立波解,给出了解的解析表达式,并作出了解的二维和三维图像;同时对时滞扰动下的部分孤波解的稳定性进行了研究,得到了相应的结果。具体工作如下:第一、二章是绪论和基本理论,综述了非线性演化方程的研究背景、研究进展和现状,介绍了孤立子理论及其主要的研究方法和本文采用的动力系统首次积分方法,同时介绍了在精确解的求解过程中经常要用到的椭圆积分函数。第三章研究了含有单奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程,通过时间尺度变换,将奇异行波系统转化为正则动力系统。因为这样的含有单奇异线双组份Degasperis-Procesi方程的典型性,对这个方程进行了最为详细的分析讨论,对其精确孤立波解和图像进行了完全的展示。通过对参数变化范围的讨论,求得了方程含有的丰富的精确行波解,有kink和anti-kink解、compacton解、anti-compacton解、peakon解、valleyon解、周期compacton解、周期anti-compacton解、周期peakon解、周期valleyon解、loop解、anti-loop解、周期loop解、一些无界解以及第二个变量txv),（出现的新型的不连续解及其周期解等。这些解的动力学性质和参数所满足的条件相对应,在参数连续变化过程中,可以看出解进行了怎样的对应变化。第四章从定性角度研究了含有双奇异线的双组份Degasperis-Procesi方程的行波解,这时的首次积分已不再是有理形式,我们借助于微分方程定性理论,将奇异系统转化为正则系统,根据双组份DP方程正则系统的相图轨道的定性性质,判断出方程含有的丰富的孤立波解,包括尖波解、光滑周期波解、正圏孤子解、周期圏孤子解、光滑的峰形孤立波解、无界解等,并且在参数取一些特殊值的条件下,求出了孤立波解的精确表达式。第五章研究了广义浸入色散K（2,2）方程的行波解,运用动力系统理论分叉方法,分析其动力学性质,对系统的相图轨道进行讨论,得到了浸入色散K（2,2）方程的圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时通过系统的动力学行为,对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,得出了在不同参数变化时,周期尖波解和光滑孤立波解的变化,它们共同向尖峰孤立波解转变。最后与其他参考文献结论的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第六章研究了广义色散Degasperis-Procesi方程的行波解,通过动力系统理论分叉方法,对系统的相图轨道进行分析,得到了广义色散Degasperis-Procesi方程的丰富的精确解,像圈孤立波解、周期圈孤立波解、扭波和反扭波解、尖峰孤立波解、周期尖波解、光滑孤立波解、周期光滑孤立波解以及一些无界解等。同时对尖峰孤立波解的产生机理进行了讨论,最后通过解的比较说明了色散扰动项不改变原来解的分布。第七章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的扭结波和反扭结波解的存在性,在分布延迟核是强核时,将具有时滞扰动的方程转化为一个无延迟的四维常微分系统。由于时滞系数?足够小,四维常微分系统是一个标准奇异摄动系统。通过奇异摄动理论,结合Melnikov函数方法证明了时滞Schr?dinger方程在（27）（27）（27）?10,（10）-（28）Oc）(1?条件下存在扭结波和反扭结波解。第八章研究了时滞扰动条件下Schr?dinger方程的周期波解的存在性,通过奇异摄动理论和Melnikov函数方法,结合数学计算软件证明了时滞Schr?dinger方程存在周期波解。第九章对全文进行了总结,并提出了展望。
二、Boussinesq方程组的精确解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Boussinesq方程组的精确解（论文提纲范文）
（1）直接拟解法求Boussinesq方程组的精确解（论文提纲范文）
| 1 Boussinesq方程组的新的精确解 |
| 2 结论 |
（2）几类非线性发展方程的孤子解和周期波解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 双线性方法 |
| 1.1.1 Hirota双线性方法 |
| 1.1.2 广义双线性方法 |
| 1.2 计算过程 |
| 1.3 非线性发展方程的几类精确解 |
| 1.3.1 周期波解 |
| 1.3.2 有理解和Lump解 |
| 1.3.3 相互作用解 |
| 1.3.4 交叉扭结波解与亮暗孤子解 |
| 1.4 符号计算 |
| 1.5 本文主要工作 |
| 第二章 (3+1)维KPB-like方程的相互作用解,纽结波解和亮暗孤子解 |
| 2.1 (3+1)维KPB-like方程的相互作用解 |
| 2.2 (3+1)维KPB-like方程的亮暗孤子解 |
| 第三章 两个广义(3+1)维方程的新三波解和周期波解 |
| 3.1 (3+1)维KPB-like方程的三波解和周期波解 |
| 3.1.1 (3+1)维KPB-like方程的三波解 |
| 3.1.2 (3+1)维KPB-like方程的周期波解 |
| 3.2 广义(3+1)维浅水波方程的周期波解和三波解 |
| 3.2.1 广义(3+1)维浅水波方程的周期波解 |
| 3.2.2 广义(3+1)维浅水波方程的三波解 |
| 第四章 两个(3+1)维方程的高阶lump-type解及其相互作用解 |
| 4.1 一种一般形式的有理解和相互作用解 |
| 4.1.1 有理解 |
| 4.1.2 相互作用解 |
| 4.2 新BLMP方程 |
| 4.2.1 新BLMP方程的高阶lump-type解 |
| 4.2.2 新BLMP方程的高阶lump解 |
| 4.3 新(3+1)维偏微分方程的高阶lump-type解及其相互作用解 |
| 4.3.1 新(3+1)维偏微分方程的高阶lump-type解 |
| 4.3.2 新(3+1)维偏微分方程的相互作用解-1 |
| 4.3.3 新(3+1)维偏微分方程的相互作用解-2 |
| 4.3.4 新(3+1)维偏微分方程的相互作用解-3 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（3）非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 几类特殊的精确解 |
| 1.1.1 孤立波 |
| 1.1.2 怪波(rogue wave) |
| 1.1.3 Lump波 |
| 1.1.4 呼吸子 |
| 1.2 一些基本的方法 |
| 1.2.1 Hirota双线性方法 |
| 1.2.2 Bell多项式 |
| 1.2.3 Backlund变换 |
| 1.3 论文的主要内容和安排 |
| 第二章 Lump解及其交互作用解 |
| 2.1 Lump解求解方法 |
| 2.2 (3+1)维孤子方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.2.1 Lump解和孤子解之间的交互作用 |
| 2.2.2 Lump解和周期解之间的交互作用 |
| 2.3 (2+1)维非对称NNV方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.3.1 Lump解 |
| 2.3.2 Lump波和孤子的交互作用解 |
| 2.4 修改后的lump解求解方法 |
| 2.5 (3+1)维广义变系数KP方程的lump解 |
| 2.5.1 Lump解 |
| 2.5.2 动力学行为分析 |
| 2.6 (2+1)维变系数KP方程的lump解及其交互作用解 |
| 2.6.1 Lump解 |
| 2.6.2 Lump波和单孤立波交互作用 |
| 2.6.3 Lump波和双孤立波交互作用 |
| 第三章 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期孤子解 |
| 3.1 (2+1)维破裂孤子方程 |
| 3.2 (2+1)维破裂孤子方程的新双周期解 |
| 第四章 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 4.1 (3+1)维BLMP方程 |
| 4.2 (3+1)维BLMP方程的非行波精确解 |
| 第五章 浅水波方程的自Backlund变换和多孤子解 |
| 5.1 (3+1)维广义浅水波方程 |
| 5.2 自Backlund变换 |
| 5.3 非行波孤子型解 |
| 5.4 多孤子解 |
| 5.5 总结 |
| 第六章 KP方程、Ito方程、KdV方程与变系数浅水波方程的精确解 |
| 6.1 新(3+1)维广义KP方程的周期孤立波解 |
| 6.2 (2+1)维Ito方程的周期孤立波解 |
| 6.3 (2+1)维KdV方程的精确解 |
| 6.4 (3+1)维广义变系数浅水波方程精确解及动力学性质 |
| 6.4.1 精确解 |
| 6.4.2 动力学行为分析 |
| 第七章 Boussinesq方程和变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.1 Boussinesq方程的多怪波解 |
| 7.1.1 针对常系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.1.2 多怪波解 |
| 7.2 变系数KP方程的多怪波解 |
| 7.2.1 针对变系数方程改进的符号计算方法 |
| 7.2.2 多怪波解 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表和完成的学术论文目录 |
（4）几类分数阶偏微分方程的守恒数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 Klein-Gordon-Schr(?)dinger方程 |
| 1.2.2 Zakharov方程 |
| 1.2.3 Schr(?)dinger-Boussinesq方程 |
| 1.2.4 阻尼非线性Schr(?)dinger方程 |
| 1.3 基本引理 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 分数阶Klein-Gordon-Schr(?)dinger方程的守恒差分格式 |
| 2.1 前言 |
| 2.2 格式的构造 |
| 2.3 理论分析 |
| 2.3.1 离散守恒律 |
| 2.3.2 数值解的先验估计 |
| 2.3.3 差分格式的收敛性 |
| 2.4 数值结果 |
| 2.4.1 精度测试 |
| 2.4.2 守恒律测试和单个孤立波仿真 |
| 2.4.3 孤立波的碰撞 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 双分数阶Zakharov方程的线性化守恒差分格式 |
| 3.1 前言 |
| 3.2 两个守恒量 |
| 3.3 守恒型差分格式的构造 |
| 3.4 理论分析 |
| 3.4.1 质量和能量守恒律 |
| 3.4.2 先验估计 |
| 3.4.3 收敛性分析 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 分数阶Schr(?)dinger-Boussinesq方程的守恒紧差分格式 |
| 4.1 前言 |
| 4.2 格式构造及其离散守恒律 |
| 4.2.1 空间离散 |
| 4.2.2 差分格式的构造 |
| 4.2.3 离散守恒律 |
| 4.3 差分格式的先验估计和收敛性分析 |
| 4.3.1 先验估计 |
| 4.3.2 存在性 |
| 4.3.3 收敛性分析 |
| 4.4 迭代算法和数值实验 |
| 4.4.1 迭代算法 |
| 4.4.2 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 带阻尼项的分数阶非线性Schr(?)dinger方程的Fourier谱方法 |
| 5.1 前言 |
| 5.2 半离散Fourier谱格式的构建及守恒性分析 |
| 5.2.1 半离散Fourier谱格式的守恒性分析 |
| 5.2.2 半离散Fourier谱格式的收敛性分析 |
| 5.3 全离散Fourier谱格式的构建及守恒性分析 |
| 5.3.1 全离散Fourier谱格式的守恒性分析 |
| 5.3.2 全离散Fourier谱格式的收敛性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）求解几类非线性发展方程的试探方程法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 微分算子的分解和试探方程法 |
| 1.3 本文研究的主要内容 |
| 第2章 求解两类非线性Schr(?)dinger方程精确解的复试探方程法 |
| 2.1 复试探方程法 |
| 2.2 带二次-三次非线性项的Schr(?)dinger方程的精确解 |
| 2.3 带非局部抛物律的Schr(?)dinger方程的精确解 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 求解两类浅水波运动方程组精确解的耦合试探方程法 |
| 3.1 耦合试探方程法 |
| 3.2 耦合Kaup-Boussinesq方程组的精确解 |
| 3.3 耦合Kaup-BoussinesqⅡ方程组的精确解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 求解变系数广义KdV-mKdV组合方程精确解的变系数试探方程法 |
| 4.1 变系数试探方程法 |
| 4.2 自由参数为1时的精确解 |
| 4.3 自由参数为-(1/2)时的精确解 |
| 4.4 自由参数为2时的精确解 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（6）两类非线性演化方程的精确解和守恒律（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 文章内容安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 留数对称 |
| 2.2 相容的Riccati展开法 |
| 2.3 守恒律 |
| 第三章 (1+1)维经典Boussinesq-Burgers系统的精确解 |
| 3.1 CBB系统的相容Riccati可解性 |
| 3.2 CBB系统的精确解 |
| 3.2.1 单孤子解 |
| 3.2.2 相互作用解 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 Kaup-Boussinesq方程的留数对称、精确解和守恒律 |
| 4.1 留数对称及其局域化 |
| 4.2 CRE可解及相互作用解 |
| 4.2.1 CRE可解 |
| 4.2.2 KB方程的相互作用解 |
| 4.3 Lie对称、非线性自伴随和守恒律 |
| 4.3.1 Lie对称 |
| 4.3.2 自伴随性 |
| 4.3.3 守恒律 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士期间取得的科研成果 |
| 致谢 |
（7）几类分数阶非线性偏微分方程解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景介绍 |
| 1.2 分数阶导数的定义及基本性质 |
| 1.3 研究方法综述 |
| 1.4 研究内容概述 |
| 第二章 Kudryashov方法介绍及应用 |
| 2.1 Kudryashov方法介绍 |
| 2.2 时间-空间分数阶Whitham-Broer-Kuap方程组的求解 |
| 2.3 时间-空间分数阶Caudrcy-Dold-Gibbon-Sawada-Kotcra方程的求解 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 改进的Kudryashov方法介绍及应用 |
| 3.1 改进的Kudryashov方法介绍 |
| 3.2 空间-时间分数阶equal-width方程的精确解 |
| 3.3 时间-空间分数阶Benjamin–Bona–Mahony方程的精确解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 广义的Kudryashov方法介绍及应用 |
| 4.1 广义的Kudryashov方法介绍 |
| 4.2 广义Kudryashov方法的应用 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 广义的tanh-coth方法介绍及应用 |
| 5.1 广义的tanh-coth方法介绍 |
| 5.2 分数阶耦合Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的求解 |
| 5.3 广义的tanh-coth方法与Kudryashov方法的区别联系 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 文章总结 |
| 6.2 讨论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（8）高维非线性演化方程高阶波解的符号计算研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性波 |
| 1.2 构造高维非线性演化方程精确解的方法和算法 |
| 1.2.1 齐次平衡法与n阶展开方法 |
| 1.2.2 Painlev(?) 截断展开 |
| 1.2.3 Hirota双线性方法与简单Hirota方法 |
| 1.3 符号计算 |
| 1.4 本文选题和主要工作 |
| 第二章 两个高维非线性演化方程的不同类型高阶波解的符号计算研究 |
| 2.1 Hirota双线性方法及其局限性 |
| 2.2 简单Hirota方法及N-孤子解公式的修正 |
| 2.3 继承求解和分组并行计算技术 |
| 2.4 (3+1) 维BKP方程多种高阶波解的构造 |
| 2.4.1 N-孤子解 |
| 2.4.2 周期波解 |
| 2.4.3 lump解 |
| 2.4.4 孤子与lump的相互作用解 |
| 2.4.5 怪波解 |
| 2.5 (3+1) 维扩展的JM方程多种高阶波解的构造 |
| 2.5.1 N-孤子解 |
| 2.5.2 呼吸子解 |
| 2.5.3 lump解 |
| 2.5.4 相互作用解 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 构造高维非线性演化方程高阶相互作用解的新算法及其应用 |
| 3.1 算法描述 |
| 3.2 应用实例 |
| 3.2.1 (4+1) 维Fokas方程的高阶相互作用解 |
| 3.2.2 (3+1) 维广义的KP方程的高阶相互作用解 |
| 3.3 本章小结 |
| 第四章 总结与展望 |
| 4.1 本文工作总结 |
| 4.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 研究成果 |
（9）一族新的微分方程的可积性和精确解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 非线性微分方程的研究背景及现状 |
| 1.2 论文的主要工作及创新点 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 守恒律 |
| 2.2 经典的Darboux变换 |
| 2.3 同宿呼吸子极限法 |
| 2.4 双线性方法 |
| 第三章 一个新的微分方程族及其可积性研究 |
| 3.1 非线性演化方程族 |
| 3.2 无穷多守恒律 |
| 第四章 方程(1-2)的精确解研究 |
| 4.1 方程(1-2)的Darboux变换及精确解 |
| 4.2 同宿呼吸子极限法求怪波解 |
| 4.3 双线性方法求方程(1-2)的孤子解 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 致谢 |
（10）典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展和现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 第二章 基本理论 |
| 2.1 孤立子理论中的主要研究方法 |
| 2.2 动力系统分叉理论的研究方法 |
| 2.3 椭圆函数 |
| 第三章 双组份α-DP方程(单奇异线)的孤立波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 3.3 相图分叉及行波解 |
| 3.4 小结 |
| 第四章 双组份α-DP方程(双奇异线)的孤立波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 双组份系统的奇点类型判断及分叉曲线 |
| 4.3 相图分叉及行波解 |
| 4.3.1 相图与行波解的判定 |
| 4.3.2 特殊条件下行波解的精确表达式 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 广义浸入色散K(2,2)方程的孤立波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 首次积分与分支曲线 |
| 5.3 相图分析和各类行波解 |
| 5.4 小结 |
| 第六章 广义色散项的DP方程的孤立波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 首次积分与分支曲线 |
| 6.3 相图分析和各类行波解 |
| 6.4 小结 |
| 第七章 Schr?dinger方程在时滞扰动下扭波及反扭波解的稳定性 |
| 7.1 引言与预备知识 |
| 7.2 未扰系统的行波解 |
| 7.3 时滞扰动方程孤立波解的存在性 |
| 7.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 7.3.2 Melnikov函数的计算以及异宿轨的扰动存在性 |
| 7.4 小结 |
| 第八章 Schr?dinger方程在时滞扰动下周期解的稳定性 |
| 8.1 引言与预备知识 |
| 8.2 未扰系统的行波解 |
| 8.3 时滞扰动方程周期波解的存在性 |
| 8.3.1 局部不变二维流形M_g的存在性 |
| 8.3.2 Melnikov函数的计算以及周期轨的扰动存在性 |
| 8.4 小结 |
| 第九章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间的学术成果 |
| 致谢 |
四、Boussinesq方程组的精确解（论文参考文献）
- [1]直接拟解法求Boussinesq方程组的精确解[J]. 李伟,李丽. 科技资讯, 2021(30)
- [2]几类非线性发展方程的孤子解和周期波解的研究[D]. 李美玉. 内蒙古工业大学, 2021(02)
- [3]非线性偏微分方程精确解及其动力学性质研究[D]. 刘建国. 北京邮电大学, 2021(01)
- [4]几类分数阶偏微分方程的守恒数值方法[D]. 石瑶. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [5]求解几类非线性发展方程的试探方程法[D]. 李文赫. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [6]两类非线性演化方程的精确解和守恒律[D]. 呼星汝. 西北大学, 2020(02)
- [7]几类分数阶非线性偏微分方程解的研究[D]. 郝孟涵. 内蒙古工业大学, 2020(02)
- [8]高维非线性演化方程高阶波解的符号计算研究[D]. 李伟. 华东师范大学, 2020(11)
- [9]一族新的微分方程的可积性和精确解研究[D]. 郑真真. 郑州轻工业大学, 2020(07)
- [10]典型单双奇异线色散方程的孤子解及其稳定性研究[D]. 徐传海. 江苏大学, 2020(01)